Lemas preliminares

Lemas preliminares

  agosto 08, 2017    Danilo Jose Polo Ojito

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En esta sección se enunciaran las principales definiciones y lemas preliminares de las definiciones básicas de un grupo.

Definición: Un grupo $G$ es llamado abeliano o conmutativo si $ab=ba$ para todo $a,b\in G$.


Definición: Sea $G$ un grupo, se le denomina el orden del grupo al cardinal de $G$, es decir, el orden de $G$ es el numero de elementos del grupo y se denota $O(G)$ o $|G|$. Si  $|G|$ es finito se dice que $G$ es un grupo finito, de lo contrario se dirá que $G$ es infinito.

Lema: Si $G$ es un grupo entonces:

a) El elemento neutro es único.

b) Todo $a\in G$ tiene un inverso unico en $G$.

c) Para todo $a\in G$, $(a^{-1})^{-1}=a$.

d) Para todo $a,b\in G, (ab)^{-1}= b^{-1}a^{-1}$.

Dms:

a) Sean $e_1$ e $e_2$ dos elementos neutros en $G$. Por lo tanto se cumplen las siguientes dos ecuaciones:

       $e_1=e_1e_2$       y      $e_2=e_1e_2$

Ya que ambos son elementos neutros, e igualando ambas ecuaciones se llega a que:

       $e_1=e_1e_2=e_2$    $\Rightarrow$      $e_1=e_2$

De lo cual se infiere que el elemento neutro es unico en $G$ como se quería verificar.

b) Supongamos que un elemento $a\in G$ pose dos elementos inversos $x$ e $y$.

  luego

             $xa=ax=e$   y   $ya=ay=e$

  Luego

             $y(ax)=ye=y$

              $(ya)x=y$

                $(e)x=y$

                   $x=y$

Por lo tanto el elemento inverso para $a\in G$ es único.

c) Para $a\in G$, se tiene que $a^{-1}a=e$  y  $a^{-1}(a^{-1})^{-1}=e$, por lo tanto $a$ es el inverso de $a^{-1}$ y $(a^{-1})^{-1}$ es el inverso de $a^{-1}$, pero como el elemento inverso es único, entonces se tiene que  $(a^{-1})^{-1}=a$.

d) Sean $amb\in G$ por lo cual se tiene que:

                                                 $(ab)b^{-1}a^{-1}=a(bb^{-1})a^{-1}$

                                                                       $=a(e)a^{-1}$

                                                                       $=aa^{-1}$

                                                                       $=e$

analogamente se verifica que  $b^{-1}a^{-1}(ab)=e$

por lo tanto $b^{-1}a^{-1}$  es el inverso de  $(ab)$ y por definición $(ab)^{-1}$ también es el inverso de $(ab)$, de lo cual se infiere que  $ (ab)^{-1}= b^{-1}a^{-1}$, ya que el elemento neutro es unico.

Lema: Sean $a,b\in G$, entonces las ecuaciones $ax=b$  $(1)$  y  $ya=b$  $(2)$ poseen únicas soluciones en $G$.

Dms:

Multiplicando $a^{-1}$ a la izquierda de la ecuación $(1)$ se tiene que:

                                   $a^{-1}(ax)=a^{-1}b$

                                  $(a^{-1}a)x=a^{-1}b$

                                  $ex=a^{-1}b$

                                    $x=a^{-1}b$

Análogamente multiplicando la ecuación $(2)$ por $a^{-1}$ a la derecha tenemos:

                                       $(ya)a^{-1}=ba^{-1}$

                                        $y(aa^{-1})=ba^{-1}$ 

                                                   $ye=ba^{-1}$

                                                      $y=ba^{-1}$

Lema: sean $a,x,y\in G$, entonces valen las siguientes leyes cancelativas en $G$
   $ax=ay$    $\Rightarrow$  $x=y$   (ley cancelativa a izquierda)

   $xa=ya$    $\Rightarrow$  $x=y$   (ley cancelativa a derecha)      

La demostración se deja al lector.

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