Clases laterales.

Clases laterales.

  agosto 08, 2017    Danilo Jose Polo Ojito

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Definición: Sea $G$ un grupo y $H$ un subgrupo de $G$, definimos la relación  $\equiv$  en $G$ de la siguiente forma; para cada $a,b\in G$, $a$ es congruente con $b$ modulo $H$ denotada como $a\equiv b$ $mod(H)$, si y solo si $ab^{-1}\in H$. En notación aditiva escribimos  $a\equiv b$ $mod(H)$, si $a-b\in H$.

Lema: Sea $G$ un grupo y $H\prec G$, la relación $\equiv$ es de equivalencia sobre los elementos de $G$.
Dms:
Sean $a,b,c\in G$
i) Reflexividad:
Debido a que $aa^{-1}=e\in H$, por lo tanto $a\equiv a$ $mod(H)$.
ii) Simetrica:
Si $a\equiv b$ $mod(H)$ entoces $ab^{-1}\in H$. Como $H\prec G$ se tiene que:
$ba^{-1}=(ab^{-1})^{-1}\in H$, lo cual implica que $b\equiv a$ $mod(H)$.
iii) Transitividad:
Si $a\equiv b$ $mod(H)$ y $b\equiv c$ $mod(H)$, entonces $ab^{-1}\in H$  y  $bc^{-1}\in H$, por lo tanto $ab^{-1}bc^{-1}\in H$, por la cerradura de $H$, pero $ab^{-1}bc^{-1}=ac^{-1}$, luego $ac^{-1}\in H$ y $a\equiv c$ $mod(H)$.
Esto verifica que la relación de congruencia modulo $H$, es una relación de equivalencia, a manera de ejemplo consideremos a $G=(\mathbb{Z},+)$ y $H=n\mathbb{Z}$, el subgrupo constituido por los múltiplos de $n$, entonces en $G$ la relación $a\equiv b$ $mod(H)$, en notación aditiva se escribiría $a-b\in n\mathbb{Z}$, es decir, $a-b$ es multiplo de $n$ o lo que es igual a escribir que $a-b$ divide a $n$ , la cual representa la congruencia modulo $n$ habitual en teoría de números.

Definición: Sea $G$ un grupo y $H\prec G$ y $a\in G$, al conjunto $Ha=\{ha$ /  $h\in H\}$ se le denomina clase lateral derecha ( izquierda respectivamente) $a$ respecto al subgrupo $H$.

Definición: Sea $G$ un grupo y $H\prec G$ y $a\in G$, al conjunto $[a]=\{x\in G$ / $x\equiv a$ $mod(H) \}$.

Lema: Para todo $a\in G$, $[a]=Ha$.
Dms:
Primero veamos que $[a]\subseteq Ha$
Sea $x\in [a]$, entonces $x\equiv a$ $mod(H) \}$,lo cual implica que  $xa^{-1}\in H$ por lo tanto existe un $h\in H$ tal que $h=xa^{-1}$, luego operando a derecha con el elemento $a$ a ambos lados de la ecuación, queda que $ha=x$, luego $x\in Ha$ y $[a]\subseteq Ha$.

Ahora mostremos que $Ha\subseteq [a]$

Si $x\in Ha$, entonces $x=ha$ con $h\in H$, por lo tanto $h=xa^{-1}$, lo cual implica que $xa^{-1}\in H$ y $x\equiv a$ $mod(H)$, de donde se verifica que $Ha\subseteq [a]$ y por doble contenencia tenemos que $[a]=Ha$, como queríamos verificar.

Lema: si $a,b\in G$ entonces existe una correspondencia biyectiva entre $[a]$ y $[b]$.
Dms:
Como se tiene que  $[a]=Ha$  y $[b]=Hb$ Consideremos la aplicación:
 $f:Ha\rightarrow Hb$
 $f(ha)=hb$
Veamos que $f$ es inyectiva.
 Sean $h_1, h_2\in H$ tales que $f(h_1a)=f(h_2a)$, entonces $h_1b=h_2b$, luego aplicando la propiedad cancelativa queda que $h_1=h_2$, por tanto $f$ es inyectiva.
Veamos que $f$ es sobreyectiva.
Sea $y\in Hb$, por lo cual $y=hb$, para algún $h\in H$ entonces $f(ha)=hb=y$, por lo cual todo elemento de $Hb$ posee preimagen y $f$ es sobreyectiva.