Subgrupos

Subgrupos

  agosto 08, 2017    Danilo Jose Polo Ojito

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Definición: Un subconjunto $H$ de un grupo $G$ se dice subgrupo de $G$ si respecto a la operación de $G$, $H$ mismo forma un grupo.
Ejemplo: Sea $G=(\mathbb{Q},+)$ el grupo de los numeros racionales con la adición y $H=(\mathbb{Z},+)$ el grupo de los enteros con la adición. Entonces $H\prec G$.
Para indicar que $H$ es un subgrupo de $G$, utilizaremos la notación $H\prec G$.

Definición: Si $G$ es un grupo, los subgrupos $G$ y $\{e\}$, se denominan los subgrupos triviales de $G$, y si $H\prec G$ donde $H\neq \{e\}$ y $H\neq G$, entonces $H$ se denomina subgrupo propio de $G$.

Criterio de subgrupos.
Debido a la necesidad de encontrar un criterio para decidir si un subconjunto de un grupo es o no un subgrupo, se plantean a continuación el siguiente lema que servirá para inspeccionar si un subconjunto dado es un subgrupo.

Lema: Un subconjunto no vació $H$ del grupo $G$ es un subgrupo si y solo si:
i) Si $a,b\in H$ entonces $ab\in H$
ii) Si $a\in G$ entonces $a^{-1}\in H$
Dms:
$\Rightarrow$
Veamos que se cumple  i) y ii) siempre que $H\prec G$.
Si $H$ es un sugbrupo de $G$, entonces se tiene que $H$ es un grupo en si mismo bajo la operación en $G$, por lo cual es claro que se cumple i) y ii) ya que $H$ es cerrado e invertivo al ser un grupo en si mismo.
$\Leftarrow$
Ahora partiendo de  i) y ii) verifiquemos que $H\prec G$.
Supongamos que $H\subset G$ que satisface  i) y ii). por lo que se verifica que $H$ es cerrado e invertivo solo faltaría verificar que $e\in H$ y que cumple la ley asociativa. Como la ley asociativa es valida para $G$, es claro que es valida para $H$ al ser un subconjunto de $G$ ya que esta propiedad es heredable. Si $a\in H$, por ii)  se tiene que $a^{-1}\in H$, luego por i) como $e=aa^{-1}\in H$, por lo tanto  $H\prec G$ como se queria verificar.

Lema: Un subconjunto no vacio $H$ de un grupo $G$, y $H$ es un subgrupo si y solo si para cada $a,b\in H$, implica que $ab^{-1}\in H$
Dms:
$\Rightarrow$
 Es claro que si $H\prec G$, entonces para todo $a,b\in H$, implica que $ab^{-1}\in H$, ya que $H$ es un grupo en si mismo.
$\Leftarrow$
Ahora verifiquemos que $H\prec G$.
-Sea $a\in H$, entonces $e=aa^{-1}\in H$, por lo tanto el elemento neutro esta en $H$. (P. modulativa)
-Sea $b\in H$, como $e\in H$ entonces $b^{-1}=eb^{-1}\in H$, por lo tanto $b^{-1}\in H$. (P. invertiva)
-Si $a,b\in H$, entonces $b^{-1}\in H$, por lo tanto $ab=a(b^{-1})^{-1}\in H$, luego  $ab\in H$ y la operación es cerrada. (Cerradura).
Por lo tanto $H$ es un grupo en si mismo y $H\prec G$.