Ejercicios resueltos teoría de grupos.

Ejercicios resueltos teoría de grupos.

  agosto 08, 2017    Danilo Jose Polo Ojito

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En álgebra abstracta, la teoría de grupos estudia las estructuras algebraicas conocidas como grupos. Sus objetivos son, entre otros, la clasificación de los grupos, sus propiedades y sus aplicaciones tanto dentro como fuera de las matemáticas.

Los grupos sirven como pilar a otras estructuras algebraicas más elaboradas como los anillos, los cuerpos o los espacios vectoriales. La teoría de grupos tiene muchas aplicaciones en el campo de la física y la química, y es potencialmente aplicable en situaciones caracterizadas por la simetría. Además se aplican en astrofísica: quarks, solución de acertijos: cubo de Rubik, en los códigos binarios y en criptografía.
A continuación les comparto el trabajo de  Yolanda Fuertes y Dragan Vukotic de la Universidad Autónoma de Madrid, 2007/08 en donde resuelven 42 ejercicios de teoría de grupos.

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Ejercicio 1:Si $G$ es un grupo abeliano, entonces para todo $a,b\in G$ y todo entero $n$, $(ab)^n=a^nb^n$
Dms:
Utilizando el principio inducción matemático es claro que se cumple para $n=1$, asi que supongamos que se cumple para $n=k$ y verifiquemos para $k+1$, por lo tanto:

$(ab)^k=a^kb^k$     y           $(ab)^{k+1}=(ab)^k(ab)$
                                                     $=a^kb^k(ab)$
                                                     $=a^kb^k(ba)$
                                                     $=a^kb^{k+1}a$
                                                     $=a^kab^{k+1}$
                                                     $=a^{k+1}b^{k+1}$
 por tanto se cumple para $k+1$, entonces por el principio de inducción matemático $(ab)^n=a^nb^n$  para todo entero $n$.


Demostrar que el grupo $(\mathbb{R}^+,*)$ es isomorfo a el grupo $(\mathbb{R},+)$ 
dms:
sea $f:(\mathbb{R}^+,*)\rightarrow (\mathbb{R},+)$ dada por $f(x)=lnx$
sean $x,y\in(\mathbb{R}^+,*)$ entonces:

                                     $f(x*y)=ln(x*y)$
                                                  $=ln(x)+ln(y)$
                                                  $=f(x)+f(y)$
por lo tanto $f$ es un homomorfismo.
Sean $x,y\in(\mathbb{R}^+,*)$  tales que:
                                       $f(x)=f(y)$
                                        $lnx=lny$
                                      $e^{lnx}=e^{lny}$
                                          $x=y$
por lo tanto $f$ es inyectiva.
sea $y\in(\mathbb{R},+)$ por lo tanto $e^y\in\mathbb{R}^+$ , entonces existe un $x\in\mathbb{R}^+$ tal que $x=e^y$ por lo tanto:

                                       $lnx=ln(e^y)$

                                       $lnx=y$

                                      $f(x)=y$

entonces para todo $y\in(\mathbb{R},+)$ existe un $x\in\mathbb{R}^+$ tal que $f(x)=y$, de lo cual $f$ s sobreyectiva y se infiere que $f$ es un isomorfismo, por tanto $(\mathbb{R}^+,*)$ es isomorfo a  $(\mathbb{R},+)$ .