Indice y teorema de Lagrange.
En este capitulo estudiaremos una condición necesaria para que un subconjunto dado de un grupo finito sea un subgrupo de dicho grupo.Lema: si $a,b\in G$ entonces existe una correspondencia biyectiva entre $[a]$ y $[b]$.
Dms:
Como se tiene que $[a]=Ha$ y $[b]=Hb$ Consideremos la aplicación:
$f:Ha\rightarrow Hb$
$f(ha)=hb$
Veamos que $f$ es inyectiva.
Sean $h_1, h_2\in H$ tales que $f(h_1a)=f(h_2a)$, entonces $h_1b=h_2b$, luego aplicando la propiedad cancelativa queda que $h_1=h_2$, por tanto $f$ es inyectiva.
Veamos que $f$ es sobreyectiva.
Sea $y\in Hb$, por lo cual $y=hb$, para algún $h\in H$ entonces $f(ha)=hb=y$, por lo cual todo elemento de $Hb$ posee preimagen y $f$ es sobreyectiva.
Este resultado implica que cada clase lateral derecha (izquierda) de $H$ posee $O(H)$ elementos ¡verifiquese!.
Definición: Sea $X$ un conjunto diferente de vació, una partición de de $X$ es una colección $(A_i)_{i\in I}$ de subconjuntos de $X$ tal que:
i) $A_i\neq \emptyset $, para todo $i\in I$.
ii) Para todo $i,j\in I$, si $i\neq j$ entonces $A_i\cap A_j=\emptyset$.
iii) $\bigcup_{i\in I}A_i=X$
Ejemplo 1: Sea $X=\{0,1,2,3,4\}$ y la colección $\{S_1,S_2\}$, en donde $S_1=\{0,1,2\}$ y $S_2=\{3,4\}$, como $S_1$ y $S_2$ son diferentes de vacío, $S_1\cap S_2=\emptyset$ y $S_1\cup S_2=X$, entonces $\{S_1,S_2\}$ es una partición de $X$.
Ejemplo 2: Sea $X=\mathbb{Z}$ y la colección $\{S_1,S_2\}$, en donde $S_1=$pares y $S_2=$impares, entonces $\{S_1,S_2\}$ es una partición de $X$. ¡verifiquese!
Mediante una relación de equivalencia entre elementos de un conjunto dado, podemos construir una partición tomando como elementos a las clases de equivalencia de los elementos del conjunto.
Sea R una relación de equivalencia entre elementos de un conjunto $X$ no vacio y sea $a\in X$, entonces la clase de $a$ la definimos de la siguiente forma:
$C_a=\{y\in X\backslash$ $yRa\}$ Donde $yRa$ denota que $y$ esta relacionado con $a$.
Verifiquemos que la colección $\{C_a\backslash a\in X\}$, es una partición de $X$.
i) Como $aRa$ dado que $R$ es de equivalencia, luego $a\in C_a$ lo que implica que $C_a\neq \emptyset$ para todo $a\in X$.
ii) Si $C_a\cap C_b\neq \emptyset$, entonces existe un $y\in X$ tal que $y\in C_a\cap C_b$, por lo tanto $yRa$ y $yRb$, luego $aRb$ y $a\in C_b$ análogamente se verifica que $b\in C_a$ y se llega a que $C_a=C_b$. De manera que si dos clases de equivalencia tienen un elemento en común son la misma, luego si $x\not \in C_a$ se tiene que $C_x\cap C_a=\emptyset$.
iii) $\bigcup_{a\in X}C_a=X$ esto se verifica fácilmente.
En el caso particular en donde tengamos un grupo $G$ dado y un subgrupo $H$ de $G$, vemos que la relación de equivalencia $a\equiv b$ $mod(H)$, determina una partición de $G=\bigcup_{a\in G}[a]$, en donde $[a]$ es la clase de equivalencia $a$.
Teorema de Lagrange: Sea $G$ un grupo finito y $H$ un subgrupo de $G$, entonces el orden de $H$ es divisor del orden de $G$.
Dms:
Si $H={e}$ o $H=G$ la demostración es obvia, así que supongamos que $H$ es un subgrupo propio de $G$.
Como cada $a\in G$ pertenece solo a una clase de equivalencia respecto al subgrupo $H$ y dado que $G$ es finito el numero de estas clases es finito, sea $n$ el número de estas clases. Luego cada clase $Ha=[a]$ posee $O(H)$ elementos, por lo tanto $O(G)=n\cdot O(H)$, lo que implica que el $O(H)$ es divisor del orden de $G$.
Definición: Si $H$ es un subgrupo de un grupo $G$, el indice de $H$ es el número de clases laterales derechas de $H$ en $G$, denotado como $i_G(H)$.
Corolario: Si $G$ es un grupo finito y $H$ un subgrupo de $G$, entonces el indice de $H$ en $G$ es:
$i_G(H)=\frac{O(G)}{O(H)}$.
Nota: Existen grupos infinitos con subgrupos no triviales cuyo indice es finito, por ejemplo consideramos el grupo $(\mathbb{Z},+)$ y el subgrupo $n\mathbb{Z}$ con $n$ un número entero diferente de cero, entonces $i_\mathbb{Z}(n\mathbb{Z})=n$.¡verifiquese!
Definición: Si $G$ es un grupo y $a\in G$, el orden de $a$ es el menor entero positivo $n$ tal que $a^n=e$.
Usamos la notación $o(a)$, para indicar el orden de $a$, si ese entero no existe decimos que $a$ tiene orden infinito.
Corolario: Si $G$ es un grupo finito y $a\in G$, entonces el orden de $a$ es divisor del orden de $G$.
Dms:
Sea $n=o(a)$, consideremos al conjunto $H=\{e,a,a^2,...,a^{n-1}\}$, es claro que $H$ tiene $n$ elementos distintos, verifiquemos ahora que $H\prec G$.
La cerradura en $H$ se verifica fácilmente, ya que sus elementos son potencias de $a$, solo resta con comprobar que existe el inverso en $H$. Si $x\in H$ entonces $x=a^i$ para algún $i=0,1,2...,n-1$, luego existe un entero $k=0,1,2...,n-1$ tal que $i+k=n$ y se tiene que:
$xa^k=a^ia^k$
$=a^{i+k}$
$=a^n$
$=e$
Por lo tanto existe el inverso en $H$ verificándose que $H\prec G$ y como $O(H)$ es divisor del $O(G)$ por el teorema de Lagrange y $O(H)=n$, entonces el orden de $a$ es divisor del orden de $G$ como se quería verificar.
Nota: Al subgrupo $H$ se le denomina subgrupo generado por el elemento $a$, posteriormente lo definiremos con mayor formalidad.
Corolario: Si $G$ es un grupo finito y $a\in G$, entonces $a^{O(G)}=e$.
Dms:
Como tenemos por definición que $a^{o(a)}=e$ y por el corolario anterior $o(a)$ es divisor del $O(G)$, por lo cual se tiene que $O(G)=k\cdot o(a)$ con $k\in \mathbb{Z^+}$, luego:
$a^{O(G)}=a^{k\cdot o(a)}$
$=(a^{o(a)})^k$
$=(e)^k$
$=e$
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