Definición de grupo.

Definición de grupo.

  agosto 08, 2017    Danilo Jose Polo Ojito

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Se dice que una operación en un conjunto $G$ define una estructura de grupo cuando verifica los siguientes propiedades (por comodidad usaremos la notación multiplicativa para la operación, aunque también sea muy frecuente usar la notación aditiva):
Propiedad 1. (Propiedad Asociativa) Para todo $x, y, z$ del conjunto $G$ se verifica: $x(yz)=(xy)z$ .
Propiedad 2. (Existencia del elemento neutro) Existe un elemento  en $G$ (llamado neutro y denotado $e$) tal que: $xe=ex=x$ para todo elemento $x\in G$.
Propiedad 3. (Existencia de inverso) Para cada elemento $x\in G$, existe otro elemento $y\in G$ (que suele denotarse $x^-1$ y se llama inverso de $x$) tal que: $xy=yx=e$ .
En el caso de que la operación se denote aditivamente al neutro $e$ es el $0$ y si la operación
se denota multiplicativamente $e=1$

Ejemplo 1: sea $G=\mathbb{Z}$ el conjunto de los números enteros, bajo las suma habitual  se verifica claramente la ley asociativa, cuyo elemento neutro es el $0$ y para cada $x\in G$ se cumple que $-x\in G$, por lo tanto $(\mathbb{Z},+)$ es un grupo. 
$(\mathbb{Z},*)$ es un semigrupo( verifiquese).

Ejemplo 2 ( Grupo simétrico o grupo de permutaciones): Dado un conjunto finito $X$ de $n$ elementos, definimos el conjunto de todas las aplicaciones biyectivas de $X$ sobre si mismo, denotado por $S_n$ y se verifica que $(S_n,\circ)$ es un grupo, en donde ¨$\circ$¨ es la composición de aplicaciones y el orden del grupo es $n!$.

Ejemplo 3 ( Grupo diedrico de orden 4): Es aquel cuyos elementos son los símbolos $a^ib^j$ tales que $i=0,1, j=0,1,2,3$ y la operación de multiplicación, dada por las relaciones:
                                 $a^2=e$, $b^4=e$  $ba=ab^3$
Este grupo se denota $D_4$.

Ejemplo 4 (Grupo de Klein): Se define como el conjunto de símbolos ${I,a,b,c}$ sujeto a las siguientes condiciones:
                         $a^2=b^2=c^2=I$ ,    $ab=c$ ,    $bc=a$ ,  $ca=b$

Ejemplo 5: Consideremos un entero positivo $n$, y sea $\mathbb{Z}_n$ el conjunto de las clases de equivalencia modulo $n$. Entonces hay una operación binaria en $\mathbb{Z}_n$ definida de la siguiente manera:
                          $[a]+[b]=[a+b]$ 
Se verifica claramente que esta operación esta bien definida y se cumple que $(\mathbb{Z}_n,+)$ es un grupo.