Teoría de grupos
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La teoría de grupos es la rama de la matemáticas que estudia las estructuras algebraicas conocidas como grupos. Sus objetivos son, entre otros, la clasificación de los grupos, sus propiedades y sus aplicaciones tanto dentro como fuera de las matemáticas.
Los grupos sirven como pilar a otras estructuras algebraicas más elaboradas como los anillos, los cuerpos o los espacios vectoriales. La teoría de grupos tiene muchas aplicaciones en el campo de la física y la química, y es potencialmente aplicable en situaciones caracterizadas por la simetría. Además se aplican en astrofísica: quarks, solución de acertijos: cubo de Rubik, en los códigos binarios y en criptografía.
El orden de un grupo es su cardinalidad, es decir el número de elementos que posee un grupo; sobre la base de él, los grupos pueden clasificarse en grupos de orden finito o de orden infinito. La clasificación de los grupos simples de orden finito es uno de los mayores logros matemáticos del siglo XX.
Breve historia
Las raíces históricas de la teoría de grupos son la teoría de las ecuaciones algebraicas, la teoría de números y la geometría. Euler, Gauss, Lagrange, Abel y Galois fueron los creadores que ponen los cimientos de esta rama del álgebra abstracta. Galois es reconocido como el primer matemático que relacionó esta teoría con la teoría de cuerpos, de lo que surgió la teoría de Galois. Además, usó la denominación de grupo o " inventó el término [...]" según E.T.Bell. Otros importantes matemáticos que contribuyen son Cayley, Emil Artin, Emmy Noether, Peter Ludwig Mejdell Sylow, A.G. Kurosch, Iwasawa entre muchos otros. Fue Walter Dick quien en 1882, dio la moderna definición de grupo y fue "el primero en definir el grupo libre engendrado por un número finito de generadores", según Nicolás Bourbaki. A fines del siglo XIX, Frobenius definió grupo abstracto con un sistema de axiomas.
Definición de grupo
Se dice que una operación en un conjunto $G$ define una estructura de grupo cuando verifica los siguientes propiedades (por comodidad usaremos la notación multiplicativa para la operación, aunque también sea muy frecuente usar la notación aditiva):
Propiedad 1. (Propiedad Asociativa) Para todo $x, y, z$ del conjunto $G$ se verifica: $x(yz)=(xy)z$ .
Propiedad 2. (Existencia del elemento neutro) Existe un elemento en $G$ (llamado neutro y denotado $e$) tal que: $xe=ex=x$ para todo elemento $x\in G$.
Propiedad 3. (Existencia de inverso) Para cada elemento $x\in G$, existe otro elemento $y\in G$ (que suele denotarse $x^-1$ y se llama inverso de $x$) tal que: $xy=yx=e$ .
En el caso de que la operación se denote aditivamente al neutro $e$ es el $0$ y si la operación
se denota multiplicativamente $e=1$
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